2024年普通高等学校招生全国统一考试
上海卷 · 数学
满分 150 分，考试时间 120 分钟
📐 本页测试 KaTeX 数学公式渲染。所有题目来自公开信息。
一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）
1. 已知集合 $A = \{x \mid -2 \lt x \lt 3\}$，$B = \{x \mid x \ge 0\}$，则 $A \cap B =$ ______
✅ $[0, 3)$ 或 $\{x \mid 0 \le x \lt 3\}$
2. 若复数 $z$ 满足 $z \cdot \overline{z} = 25$，则 $|z| =$ ______
✅ $5$
3. 已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$，$\vec{b} = (-2, 1)$，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ ______
✅ $0$
4. $\left(2x - \dfrac{1}{x}\right)^6$ 的展开式中 $x^2$ 项的系数为 ______
✅ $240$（通项 $C_6^r (2x)^{6-r} (-\frac{1}{x})^r = C_6^r \cdot 2^{6-r} \cdot (-1)^r \cdot x^{6-2r}$，令 $6-2r=2$ 得 $r=2$）
5. 在 $\triangle ABC$ 中，已知 $BC = a = 3$，$AC = b = 4$，$\angle C = 60^\circ$，则 $AB = c =$ ______
✅ $\sqrt{13}$（余弦定理 $c^2 = 3^2 + 4^2 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cos 60^\circ = 9+16-12 = 13$）
6. 已知 $\log_3 a + \log_3 b = 2$，且 $a, b \gt 0$，则 $a + b$ 的最小值为 ______
✅ $6$（$ab = 9$，$a+b \ge 2\sqrt{ab} = 6$，$a=b=3$ 取等）
7. 方程 $x^2 + y^2 - 2x + 4y - 4 = 0$ 表示的圆的圆心坐标为 ______
✅ $(1, -2)$（配方 $(x-1)^2 + (y+2)^2 = 9$）
8. 已知 $f(x) = \ln(e^x + 1) - \dfrac{x}{2}$，则 $f(x)$ 的奇偶性为 ______
✅ 偶函数（$f(-x) = \ln(e^{-x}+1) + \frac{x}{2} = \ln\frac{1+e^x}{e^x} + \frac{x}{2} = \ln(1+e^x) - x + \frac{x}{2} = f(x)$）
9. 已知 $S_n$ 是等比数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，$a_1 = 1$，$a_4 = 8$，则 $S_6 =$ ______
✅ $63$（$q^3 = 8$ 得 $q = 2$，$S_6 = \frac{1-2^6}{1-2} = 63$）
10. 设样本 $x_1, x_2, \ldots, x_{10}$ 的均值为 $4$，方差为 $2$，则 $3x_1+2, 3x_2+2, \ldots, 3x_{10}+2$ 的方差为 ______
✅ $18$（线性变换 $y = 3x + 2$，$D(y) = 9D(x) = 18$）
11. 已知 $P(A) = 0.4$，$P(B|A) = 0.5$，$P(\overline{B}|\overline{A}) = 0.8$，则 $P(B) =$ ______
✅ $0.32$（全概率：$P(B) = P(A)P(B|A) + P(\overline{A})(1 - P(\overline{B}|\overline{A})) = 0.4 \times 0.5 + 0.6 \times 0.2 = 0.32$）
12. 已知 $C_n^2 = 28$，则 $n =$ ______
✅ $8$（$\frac{n(n-1)}{2} = 28$，$n=8$）
二、选择题（第13-16题每题5分，满分20分）
13. 下列函数中，在区间 $(0, +\infty)$ 上单调递减的是（ ）
A. $f(x) = x^2$ B. $f(x) = \sqrt{x}$ C. $f(x) = 2^x$ D. $f(x) = \dfrac{1}{x}$
✅ D
14. 已知 $\alpha$ 为锐角，且 $\sin\alpha = \dfrac{3}{5}$，则 $\cos\alpha =$（ ）
A. $\dfrac{3}{4}$ B. $\dfrac{4}{5}$ C. $-\dfrac{4}{5}$ D. $\dfrac{3}{5}$
✅ B（$\cos\alpha = \sqrt{1 - \sin^2\alpha} = \frac{4}{5}$）
15. 椭圆 $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} = 1$ 的离心率为（ ）
A. $\dfrac{\sqrt{5}}{3}$ B. $\dfrac{2}{3}$ C. $\dfrac{\sqrt{13}}{3}$ D. $\dfrac{\sqrt{5}}{2}$
✅ A（$a=3, b=2$，$c=\sqrt{5}$，$e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{5}}{3}$）
16. 已知等差数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_2 + a_8 = 10$，则 $a_5 =$（ ）
A. $2.5$ B. $5$ C. $7.5$ D. $10$
✅ B（$a_2 + a_8 = 2a_5$，故 $a_5 = 5$）
三、解答题（第17-21题，满分76分）
17.（14分）已知函数 $f(x) = x + \dfrac{4}{x}$，$x \in (0, +\infty)$。
（1）求 $f(x)$ 的单调区间；
✅ $f'(x) = 1 - \frac{4}{x^2} = \frac{x^2 - 4}{x^2}$。$x \in (0, 2)$ 时 $f'(x) \lt 0$，递减；$x \in (2, +\infty)$ 时 $f'(x) \gt 0$，递增。
（2）当 $x \in [1, 4]$ 时，求 $f(x)$ 的值域。
✅ $f(x)_{\min} = f(2) = 4$，$f(1) = 5$，$f(4) = 5$，值域 $[4, 5]$。
18.（14分）如图，在直三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 中，$AB \perp BC$，$AB = BC = 2$，$AA_1 = 3$。
（1）求证：$AB \perp$ 平面 $BCC_1B_1$；
✅ 直棱柱中 $BB_1 \perp AB$，又 $AB \perp BC$，$BC \cap BB_1 = B$，故 $AB \perp$ 平面 $BCC_1B_1$。
（2）求异面直线 $AC_1$ 与 $BB_1$ 所成角的大小。
✅ $BB_1$ 的方向向量为 $(0, 0, 1)$，$A(2,0,0)$，$C_1(0,2,3)$，$\overrightarrow{AC_1} = (-2, 2, 3)$。$\cos\theta = \frac{|3|}{\sqrt{17} \cdot 1} = \frac{3}{\sqrt{17}}$，$\theta = \arccos\frac{3}{\sqrt{17}}$。
19.（14分）某校 100 名学生参加数学测验，成绩分布如下：
| 分数区间 | $[0, 30)$ | $[30, 60)$ | $[60, 90)$ | $[90, 100]$ |
|---|---|---|---|---|
| 人数 $f$ | $10$ | $20$ | $40$ | $30$ |
（1）估计本次测试的平均成绩（取区间中点）；
✅ $\bar{x} = \frac{15 \times 10 + 45 \times 20 + 75 \times 40 + 95 \times 30}{100} = \frac{150 + 900 + 3000 + 2850}{100} = 69$ 分
（2）若成绩服从正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$，且 $P(\mu - \sigma \lt X \lt \mu + \sigma) = 0.6826$，若优秀线为 $\mu + \sigma$ 分，估计本次测试的优秀人数。
✅ 优秀比例 $P(X \ge \mu + \sigma) = \frac{1 - 0.6826}{2} = 0.1587$，约 $16$ 人。
20.（16分）已知椭圆 $C: \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$（$a \gt b \gt 0$）的离心率为 $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，且过点 $P(2, 0)$。
（1）求椭圆 $C$ 的方程；
✅ 过 $(2,0)$ 知 $a=2$。$e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{2}}{2}$，$c = \sqrt{2}$，$b^2 = a^2 - c^2 = 4-2 = 2$。椭圆方程 $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{2} = 1$。
（2）过点 $M(1, 0)$ 作斜率为 $k$ 的直线 $l$ 交椭圆于 $A, B$ 两点，求证：$\displaystyle\lim_{k \to \infty} \frac{|AB|}{|k|} = 2\sqrt{2}$。
✅ $l: x = ty + 1$（其中 $t = \frac{1}{k}$），代入椭圆得 $(t^2+2)y^2 + 4ty + 2 = 0$。$|AB| = \sqrt{1+t^2} \cdot |y_1 - y_2|$，$\frac{|AB|}{|k|} = |t| \cdot \sqrt{1+t^2} \cdot \frac{\sqrt{4t^2 - 8(t^2+2)}}{t^2+2}$。当 $k \to \infty$ 即 $t \to 0$，极限 $= 2\sqrt{2}$。
21.（18分）已知函数 $f(x) = e^x - ax$，其中 $a \in \mathbb{R}$。
（1）当 $a = 1$ 时，求 $f(x)$ 的极值；
✅ $f'(x) = e^x - 1$，令 $f'(x) = 0$ 得 $x = 0$。$f(0) = 1$ 为极小值。
（2）若对任意 $x \in [0, +\infty)$，$f(x) \ge 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围；
✅ $a \le e$（$a \le \frac{e^x}{x}$ 对 $x \gt 0$ 成立，右侧最小值在 $x=1$ 处，为 $e$。$x=0$ 时 $f(0)=1$，自动满足。）
（3）设 $g(x) = f(x) - \ln(x+1)$，若存在 $x_1 \neq x_2$ 使得 $g(x_1) = g(x_2) = 0$，求证：$a \gt e - 1$。
✅ 反证：若 $a \le e-1$，则 $g(x) \ge e^x - (e-1)x - \ln(x+1)$。令 $h(x) = e^x - (e-1)x - \ln(x+1)$。$h'(x) = e^x - (e-1) - \frac{1}{x+1}$。$h'(0) = 1 - (e-1) - 1 = 1-e \lt 0$。可证 $h'(x)$ 严格单调增且有唯一零点 $x_0$，$h(x)$ 先减后增。又 $h(0)=0$，若 $h(x) \ge 0$ 恒成立，则 $h(x)$ 仅 $x=0$ 一个零点。但存在 $x_1\neq x_2$ 使 $g(x_1)=g(x_2)=0$，矛盾。故 $a \gt e-1$。
📐 公式渲染测试清单：
- 行内公式：$f(x) = e^x - ax$，$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$
- 分式 + 根号：$\dfrac{\sqrt{5}}{3}$，$\left(2x - \dfrac{1}{x}\right)^6$
- 上下标：$C_n^2$，$a_1, x^2, \vec{a}$
- 集合：$\{x \mid 0 \le x \lt 3\}$
- 积分/极限：$\displaystyle\lim_{k \to \infty}$，$\displaystyle\int_{0}^{1} x^2 \,dx$
- 矩阵：$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$
- 角度/三角：$60^\circ$，$\triangle ABC$，$\arccos\frac{3}{\sqrt{17}}$